Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - 729}{x^{2} - 81}$ , $x = 9$

Étape 1

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{3} - 729}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez $729$ comme $9^{3}$ .

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{3} - 9^{3}}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x + h$ et $b = 9$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) ({(x + h)}^{2} + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1.3.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) ((x + h) (x + h) + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x (x + h) + h (x + h) + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x \cdot x + x h + h (x + h) + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + x h + h x + h \cdot h + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + x h + h x + h^{2} + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.3.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + h x + h x + h^{2} + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + x \cdot 9 + h \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.5

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 \cdot x + h \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.6

Déplacez $9$ à gauche de $h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 \cdot x + 9 \cdot h + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.7

Multipliez $9$ par $h$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.1.3.8

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81)}{{(x + h)}^{2} - 81}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81)}{{(x + h)}^{2} - 9^{2}}$

Étape 2.1.2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x + h$ et $b = 9$ .

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81)}{(x + h + 9) (x + h - 9)}$

Étape 2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $x + h - 9$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81)}{(x + h + 9) (x + h - 9)}$

Étape 2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$ .

$\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$

Étape 2.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$

$f (x) = \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}$

$f (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$

$f (x) = \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}$

Étape 3

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9} - (\frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} - \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}}{h}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + h + 9}{x + h + 9}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} - \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9} \cdot \frac{x + h + 9}{x + h + 9}}{h}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + h + 9) (x + 9)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$ par $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9)}{(x + h + 9) (x + 9)} - \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9} \cdot \frac{x + h + 9}{x + h + 9}}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}$ par $\frac{x + h + 9}{x + h + 9}$ .

$\frac{\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9)}{(x + h + 9) (x + 9)} - \frac{(x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + h + 9) (x + 9)$ .

$\frac{\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)} - \frac{(x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9) - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9) - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.1

Développez $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 9 + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.1.5.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 9 + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 9 + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 9 + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.2

Déplacez $9$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 \cdot x^{2} + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h (x \cdot x) + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.4

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.5

Déplacez $9$ à gauche de $h^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 \cdot h^{2} + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.2.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.7

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 x^{2} + 81 x + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.8

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 x^{2} + 81 x + 9 h x + 81 h + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.2.9

Multipliez $81$ par $9$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 x^{2} + 81 x + 9 h x + 81 h + 81 x + 729 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.3

Additionnez $9 x^{2}$ et $9 x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 81 x + 9 h x + 81 h + 81 x + 729 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.4

Additionnez $18 h x$ et $9 h x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 81 x + 81 h + 81 x + 729 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.5

Additionnez $81 x$ et $81 x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + (- x^{2} - (9 x) - 1 \cdot 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.7

Simplifiez

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Étape 4.1.5.7.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + (- x^{2} - 9 x - 1 \cdot 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.7.2

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + (- x^{2} - 9 x - 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.8

Développez $(- x^{2} - 9 x - 81) (x + h + 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{2} x - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.9.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - (x \cdot x^{2}) - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.5.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - (x^{1} x^{2}) - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{1 + 2} - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.9.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 (x \cdot x) - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.4

Multipliez $9$ par $- 9$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x h - 81 x - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.9.5

Multipliez $- 81$ par $9$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x h - 81 x - 81 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.10

Soustrayez $9 x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 18 x^{2} - 9 x h - 81 x - 81 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.11

Soustrayez $81 x$ de $- 81 x$ .

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 18 x^{2} - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.12

Soustrayez $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + 0 - x^{2} h - 18 x^{2} - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.13

Additionnez $18 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{2} h - 18 x^{2} - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.14

Soustrayez $18 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{2} h + 0 - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.15

Soustrayez $x^{2} h$ de $2 h x^{2}$ .

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Étape 4.1.5.15.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} h - x^{2} h + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + 0 - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.15.2

Soustrayez $x^{2} h$ de $2 x^{2} h$ .

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + 0 - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.16

Additionnez $1 x^{2} h$ et $0$ .

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.17

Soustrayez $9 x h$ de $27 h x$ .

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Étape 4.1.5.17.1

Déplacez $h$ .

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 27 x h - 9 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.17.2

Soustrayez $9 x h$ de $27 x h$ .

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.18

Soustrayez $162 x$ de $162 x$ .

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 81 h + 729 + 0 - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.19

Additionnez $1 x^{2} h$ et $0$ .

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 81 h + 729 - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.20

Soustrayez $81 h$ de $81 h$ .

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 0 + 729 - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.21

Additionnez $1 x^{2} h$ et $0$ .

$\frac{\frac{18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h + 729 - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.22

Soustrayez $729$ de $729$ .

$\frac{\frac{18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h + 0}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.23

Additionnez $18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h$ et $0$ .

$\frac{\frac{18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.24

Réécrivez $18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.5.24.1

Factorisez $h$ à partir de $18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h$ .

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Étape 4.1.5.24.1.1

Factorisez $h$ à partir de $18 x h$ .

$\frac{\frac{h (18 x) + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.24.1.2

Factorisez $h$ à partir de $h^{2} x$ .

$\frac{\frac{h (18 x) + h (h (x)) + 9 h^{2} + 1 x^{2} h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.24.1.3

Factorisez $h$ à partir de $9 h^{2}$ .

$\frac{\frac{h (18 x) + h (h (x)) + h (9 h) + 1 x^{2} h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.24.1.4

Factorisez $h$ à partir de $1 x^{2} h$ .

$\frac{\frac{h (18 x) + h (h (x)) + h (9 h) + h (1 x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.24.1.5

Factorisez $h$ à partir de $h (18 x) + h (h (x))$ .

$\frac{\frac{h (18 x + h (x)) + h (9 h) + h (1 x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.24.1.6

Factorisez $h$ à partir de $h (18 x + h (x)) + h (9 h)$ .

$\frac{\frac{h (18 x + h (x) + 9 h) + h (1 x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.24.1.7

Factorisez $h$ à partir de $h (18 x + h (x) + 9 h) + h (1 x^{2})$ .

$\frac{\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + 1 x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.1.5.24.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 4.3

Associez.

$\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + x^{2}) \cdot 1}{(x + 9) (x + h + 9) h}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + x^{2}) \cdot 1}{(x + 9) (x + h + 9) h}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(18 x + h x + 9 h + x^{2}) \cdot 1}{(x + 9) (x + h + 9)}$

Étape 4.5

Multipliez $18 x + h x + 9 h + x^{2}$ par $1$ .

$\frac{18 x + h x + 9 h + x^{2}}{(x + 9) (x + h + 9)}$

Étape 5

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$\frac{18 (9) + h (9) + 9 h + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $18 (9) + h (9) + 9 h + {(9)}^{2}$ et $(9) + 9$ .

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Étape 6.1

Factorisez $9$ à partir de $18 (9)$ .

$\frac{9 (2 \cdot 9) + h (9) + 9 h + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

Étape 6.2

Factorisez $9$ à partir de $h (9)$ .

$\frac{9 (2 \cdot 9) + 9 h + 9 h + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

Étape 6.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (2 \cdot 9) + 9 h$ .

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h) + 9 h + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

Étape 6.4

Factorisez $9$ à partir de $9 h$ .

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h) + 9 (h) + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

Étape 6.5

Factorisez $9$ à partir de $9 (2 \cdot 9 + h) + 9 (h)$ .

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h) + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

Étape 6.6

Factorisez $9$ à partir de ${(9)}^{2}$ .

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h) + 9 \cdot 9}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

Étape 6.7

Factorisez $9$ à partir de $9 (2 \cdot 9 + h + h) + 9 \cdot 9$ .

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h + 9)}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

Étape 6.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.8.1

Factorisez $9$ à partir de $((9) + 9) ((9) + h + 9)$ .

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h + 9)}{9 ((1 + 1) ((9) + h + 9))}$

Étape 6.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h + 9)}{9 ((1 + 1) ((9) + h + 9))}$

Étape 6.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot 9 + h + h + 9}{(1 + 1) ((9) + h + 9)}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{18 + h + h + 9}{(1 + 1) (9 + h + 9)}$

Étape 7.2

Additionnez $18$ et $9$ .

$\frac{h + h + 27}{(1 + 1) (9 + h + 9)}$

Étape 7.3

Additionnez $h$ et $h$ .

$\frac{2 h + 27}{(1 + 1) (9 + h + 9)}$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 h + 27}{2 (9 + h + 9)}$

Étape 8.2

Additionnez $9$ et $9$ .

$\frac{2 h + 27}{2 (h + 18)}$

Étape 9